高一數學教案：《空間圖形的基本關系與公理》(2)
來源：網絡資源 2021-09-10 15:39:52
【典型例題】
考點一 空間點線面位置關系的判斷：主要判斷依據是平面的基本性質公理及其推論，平行公理、等角定理等相關結論。
例1. 下列命題：
空間不同的三點可以確定一個平面；
有三個公共點的兩個平面必定重合；
空間中兩兩相交的三條直線可以確定一個平面；
④平行四邊形、梯形等所有的四邊形都是平面圖形；
⑤兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；
⑥一條直線和兩平行線中的一條相交，必定和另一條也相交。
其中正確的命題是 。
解：⑥。
例2. 空間中三條直線可以確定幾個平面？試畫出示意圖說明。
解：0個、1個、2個或3個。分別如圖（圖中所畫平面為輔助平面）：
考點二 異面直線的判斷：主要依據是異面直線的定義及判定定理。
例3. 如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，那么AB、CD、EF、GH這四條線段所在的直線是異面直線的有__________對，分別是____________________？
解：3對，分別是AB、GH；AB、CD；GH、EF。
考點三 “有且只有一個”的證明：一般地，此類題型的證明需要分為兩個步驟，分別證明“有”即存在性和“只有一個”即唯一性。
例4. 求證：過兩條平行直線有且只有一個平面。
已知：直線a∥b。
求證：過a，b有且只有一個平面。
證明：?存在性：由平行線的定義可知，過平行直線a，b有一個平面。
?唯一性（反證法）：假設過a，b有兩個平面 。在直線 上任取兩點A、B，在直線b上任取一點C，則A、B、C三點不共線。由于這兩個平面 都過直線a，b，因此由公理1可知： 都過點A、B、C。由平面的基本性質公理2，過不共線三點的平面唯一存在，因此 重合，與假設矛盾。矛盾表明：過平行直線a，b只有一個平面。
綜上所述：過a，b有且只有一個平面。
考點四 共點的判斷與證明：此類題型主要有三線共點和三面共點。
例5. 三個平面兩兩相交有三條交線，求證：三條交線或平行，或交于一點。
已知：平面 ，求證：a∥b∥c或者a，b，c交于一點P。
證明：因為 ，故a，b共面。
I、若a∥b：由于 ，故 ，因直線 ，故a，c無公共點。又a，c都在平面 內，故a∥b；故a∥b∥c。
II、若 ，則 ，故知
綜上所述：命題成立。
說明：證明三點共線的問題的常用思路是先證兩條直線相交，然后再證該交點在第三條直線上；證明交點在第三條直線上常證明該點是兩個相交平面的公共點，從而在這兩個平面的交線上即在第三條直線上。
